Посол Момчило Бабич родился в городе Печь (край Косово и Метохия, Республика Сербия), учился в Белграде, где окончил Медицинский факультет, а степень магистра получил в Москве в качестве стипендиата Всемирной организации здравоохранения на Международном факультете здравоохранения. Докторскую степень получил в Белграде на Медицинском факультете. Специализацию по социальной медицине окончил на Медицинском факультете Белградского университета, где был избран научным сотрудником, а с 2000 года является профессором социальной медицины.

Посол Бабич выполнял многочисленные профессиональные и общественные должности. Был директором Сектора по развитию Клинического центра Сербии, городским секретарем по здравоохранению в Скупщине Белграда, где инициировал проект «Белград – здоровый город». В течение десяти лет занимал должность директора Клинико-больничного центра «Бежанийска коса», являлся помощником Министра здравоохранения Республики Сербии, а также директором Республиканского фонда медицинского страхования. Он был председателем Совета Белградского университета.

Более двух лет провел на профильных стажировках, в частности в России и США, в ведущих мировых учреждениях, включая Университет Джонса Хопкинса в Балтиморе, Центры по контролю и профилактике заболеваний в Атланте, Национальные институты здравоохранения в Бетесде (Мэриленд) и Джорджтаунский университет в Вашингтоне, Каролинский институт - Стокгольм, Лондонская школа гигиены и тропической медицины, Центральный институт усовершенствования врачей и Национальный НИИ общественного здоровья им. Н.А. Семашко в Москве. Наладил сотрудничество с Университетом Раш в Чикаго, куда на протяжении многих лет направлялись на повышение квалификации врачи больницы, которой он руководил. Наладил взаимодействие с ведущими российскими врачами, такими как: академик Чазов Е.И. и академик Бокерия Л.А., которые посещали больницу под его руководством.

Является автором более 250 научных работ, опубликованных в международных и отечественных журналах и на конгрессах, а также 24 научных книг. Он был основателем и первым президентом Медицинского академического форума, ассоциации врачей академического профиля, с местом нахождения в Белграде, основанной в 2002 году.
В 2012 году он был награжден Первым европейским домом из Белграда наградой и званием «Лучший европеец» за Программу развития здравоохранения в Сербии. В 2021 году организация «Sarvare et mannere» из Словацкой Республики наградила его Медалью мира за вклад в укрепление мира и сотрудничества между народами.

С 2018. года по 2022. год был послом Республики Сербии в Братиславе. Владеет: английским, русским и словацким языками. Уже десятилетиями занимается живописью и в основном жертвует свои работы больницам и на благотворительность.

Женат, супруга Марияна, имеют сына Уроша и дочь Иву.